Persamaan Logaritma

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan logaritma yang mengandung unsur fungsi tertentu. Persamaan ini mengandung beberapa bentuk diantaranya:

Bentuk ^a\log f(x) = b

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = a^b. Dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1. Sebagai contoh, ^x\log(3x + 10) = 2, maka:

^x\log(3x + 10) = 2 \rightarrow 3x + 10 = x^2

Dari persamaan kuadrat tersebut dapat diketahui akar-akarnya sebagai penyelesaian:

3x + 10 = x^2 \rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

x_1 = 5 dan x_2 = -2

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Jarak Titik ke Garis, Garis ke Bidang, dsb

Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk ^a\log f(x) = ^a\log b

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = b dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan b > 0. Sebagai contoh, \log(x^2 - 1) = \log 8 diubah bentuk menjadi:

x^2 - 1 = 8

x^2 = 9

Akar-akarnya adalah:

x_1 = 3 dan x_2 = -3

Bentuk ^a\log f(x) = ^a\log g(x)

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = g(x). Dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0. Sebagai contoh:

\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = 1 + \log(x - 8),

Menjadi:

\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = \log 10 + \log(x - 8)

\log(\frac{x^2 - 1}{x - 1}) = \log10(x - 8)

\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 10(x-8)

\frac{(x - 1)(x + 1)}{x -1} = 10(x-8)

(x + 1) = 10x - 80

9x = 81

Sehingga:

x = 9

Bentuk a(^p\log(x))^2 + b(^p\log f(x)) + c = 0

Persamaan logaritma ini dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan ^p\log f(x) = y. Sehingga membentuk persamaan baru:

a(y)^2 + b(y) + c = 0

Dari persamaan tersebut akan diperoleh penyelesaian fungsi y, kemudian bisa disubstitusikan kedalam ^p\log f(x) = y untuk mendapatkan penyelesaian fungsi x. Sebagai contoh:

^2\log x((^2\log x) - 3) = ^2 \log 16

Misalkan ^2\log x = y, maka persamaan barunya:

^2\log x((^2\log x)- 3) = ^2\log 16

y(y -3) = ^2\log 2^4

y(y - 3) = 4

y^2 - 3y = 4

y^2 - 3y - 4 = 0

(y - 4)( y + 1) = 0

Akar-akarnya:

y_1 = 4 dan y_2 = -1

Sehingga diperoleh nilai x dari akar-akar y yaitu:

y_1 = 4

^2 \log x = 4

x = 2^4 = 16

y_2 = -1

^2 \log x = -1

x = 2^{-1} = \frac{1}{2}

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

Jika ^a\log f(x) < ^a \log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)

Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka f(x) > ;g(x) > 0

Saat 0 < a < 1

Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka f(x) > g(x) > 0

Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

^2\log(2x + 1) < ^2\log 3

Berubah bentuk menjadi:

2x + 1

2x < 2

x < 1

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga:

0 < (2x+1) < 3

-1 < (2x) < 2

-\frac{1}{2} < x < 1

Garis bilangannya adalah:

contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a \log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1

Diubah menjadi:

(2 \log x - 1)(\log x) > 1

2 \log^2 x - \log x - 1 > 0

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

2y^2 - y - 1 > 0

(2y + 1)(y - 1)

Akar-akarnya adalah :

y_1 = -\frac{1}{2} dan y_2 = 1

Maka nilai x adalah:

y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x

x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}

y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x

x_2 = 10

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah: